TEORIA DE DECISIONES

TEORIA DE DECISIONES

La toma de decisiones es un proceso que lo realizamos día a día, pues constantemente tenemos que escoger entre dos o más alternativas que se nos presentan.  Para tomar una decisión, no importa su naturaleza, solo es necesario analizar un problema, para así poder darle solución, así como existen inconvenientes fáciles de resolver porque no hay complejidad en la elección de las posibilidades, también surgen casos en los cuales es de vital importancia tomar la mejor decisión porque las consecuencias generan o acarrean grandes repercusiones.

En el campo laboral una decisión errónea puede conducir al éxito o por el contario producir grandes pérdidas que incluso den lugar al cierre de la compañía, es por esto, que se deben analizar todas las alternativas existentes y evaluar cada uno de los riesgos que conlleva. A través de los años, se han perfeccionado las herramientas que sirven de guía para la toma de decisiones empresariales, sin embargo, nadie está exonerado de cometer un error y tomar una mala dirección. No obstante, estas pautas mejoradas minimizan el factor de riesgo en la escogencia de una decisión.

Un proceso de toma de decisiones se puede encontrar en las siguientes categorías:

•         Decisiones bajo condiciones de certidumbre: El decisor tiene completo conocimiento sobre las alternativas de la solución y sus respectivas consecuencias, por lo cual en el instante de escoger, el criterio de decisión se basa en la alternativa que le produzca un mayor beneficio. Se puede predecir con convicción las repercusiones  de cada alternativa planteada. 

•         Decisiones bajo condiciones de riesgo. Se refiere a la condición en la que hay un número dado de estados de la naturaleza y el decisor conoce la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

•         Decisiones bajo condiciones de incertidumbre. Cuando hay riesgo, la incertidumbre es la percepción que se tenga del riesgo de una decisión, o de no saber lo que puede ocurrir u ocurra un año dado, y el productor responde de una manera determinada a ello, según su percepción y capacidad de enfrentar el riesgo.

EJEMPLO:

Un vendedor de cámaras, tiene la alternativa de comprar entre 6 y 10 cámaras, así mismo tiene la probabilidad de vender de 6 a 10 cámaras diarias. Cada cámara le cuesta $20  y los vende a $25 unidades monetarias. Cada estado de la naturaleza (demanda) es equiprobable.

 

a.       Criterio MAX-MAX : Seleccionar lo mejor de lo mejor

La decisión consiste en tener la mayor cantidad de cámaras para obtener la mayor ganancia al venderse todo.

La mejor alternativa es comprar 10 cámaras y así obtener la mayor utilidad.

b.       Criterio MAXI-MIN: Seleccionar lo mejor de lo peor

La decisión es seleccionar los peores valores y escogemos el mejor entre los peores valores.

 

La mejor alternativa es comprar 6 cámaras ya que así se minimiza el riesgo.

c.       Arrepentimiento MIN-MAX:

El valor de intersección entre la demanda y la alternativa de inversión se resta a cada uno de los valores de la columna respectiva, por ejemplo:

Para la columna I: valor de intersección es 30

•          30 – 30 = 0
•          30 – 10= 20
•          30 – (-10) = 40
•          30 – (-30) = 60
•          30 – (-50) = 80

Las mejores alternativas son comprar 6 y 7 cámaras, ya que representa el menor costo de oportunidad o arrepentimiento.

d.       Valor esperado

Las alternativas seleccionadas en este criterio son igual a las alternativas del criterio de arrepentimiento.

a.       e. Criterio VEIPER: Valor esperado con información perfecta

Dada por la ecuación 
  

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales

Juegos bipersonales de suma cero

En un juego bipersonal de suma cero, cada uno de dos jugadores tiene que escoger entre unas acciones dictadas a cada turno, y la pérdida de cada jugador es igual al beneficio del su contrincante.

La matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero tiene reglones etiquetados por las acciones del "jugador renglón" y columnas etiquetadas por las acciones del su contrincante, el "jugador columna." La entrada ij de la matriz es el pago que gana el jugador renglón en caso de que el jugador renglón usa acción i y el jugador columna usa acción j.

Estrategia mixta, Valor esperado


Un jugador usa una estrategia pura si usa la misma acción a cada turno del juego. El jugador usa una estrategia mixta si a cada turno escoge al azar un acción para que cada acción se está usado una fracción determinada del tiempo.
Representamos una estrategia mixta (o pura) del jugador reglón por una matriz con un solo renglón (vector probabilidad):

R = [a   b   c  . . . ]

con lo mismo número de entradas que renglones, y en cual cada entrada representa la fracción de tiempo que está usada la correspondiente acción (o la probabilidad de usar aquel acción) y donde a + b + . . . = 1.

Una estrategia mixta para el jugador renglón se represente por un vector probabilidad similar, pero en forma de columna C. Para ambos jugadores, estrategias puras son representadas por vectores probabilidad con un solo 1 y el resto de las entradas 0.
El valor esperado del juego con matriz de pagos P que resulta por las estrategias mixtas R y C es dado por

e = RPC

El valor esperado del juego es el pago promedio por turno si cada jugador usa su estrategia mixta especificado por R y C después de un gran número de turnos.

Criterio minimax, Principios fundamentales de la teoría de juegos

Criterio Minimax
Un jugador quien usa el criterio minimax escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante.
Encontrar la estrategia se llama solucionar el juego.  Para juegos general, se puede usar el método simplex Sin embargo, se puede frecuentemente simplificar un juego y a veces solucionarlo por "reducir por predominio" y/o comprobar si es "estrictamente determinado".
Principios fundamentales de la teoría de juegos Cuando analizamos cualquier juego, hacemos los siguientes supuestos acerca de los dos jugadores:

1. Cada jugador hace la acción mejor posible.
2. Cada jugador sabe que su contrincante está también haciendo la acción mejor posible.

Reducir por predominio
Una acción domina a otra si todos sus pagos son por lo menos tan provechoso al jugador que los pagos correspondientes de la otra. En términos de la matriz de pagos, podemos decirlo como sigue:

1. Renglón r en la matriz de pagos domina a renglón s si cada pago en renglón r ≥ el pago correspondiente en renglón s.
2. Columna r en la matriz de pagos domina a columna s si cada pago en columna r ≤ el pago correspondiente en columna s.

Observe que si dos renglones o columnas son iguales, cada uno domina al otro. Un renglón o columna domina estrictamente a un otro si el uno domina al otro y son desiguales.
Siguiendo el primero principios de la teoría de juegos, la acción que corresponde a un renglón o columna estrictamente dominado nunca será jugado, y ambos jugadores son conscientes de esto por el segundo principio. Entonces cada jugador quien sigue los principios de la teoría de juegos eliminará repetidamente renglones y columnas dominadas como podría ser el caso. (En el caso que son iguales dos renglones o columnas, no hay razón para elegir uno sobre el otro, entonces cualquiera de los dos puede ser eliminado.) Este proceso se llama reducción por predominio.

Punto de silla, juego estrictamente determinado
Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, Encierre en círculo los mínimos de todos los renglones y meta en caja los máximas de todas las columnas. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente en círculo y en caja.
Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos uno punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinado:

1. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.
2. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.

 

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales

Teoría de Juegos

TEORIA DE JUEGOS

La técnica para el análisis de estas situaciones fue puesta a  punto por un matemático, John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern.  Esta teoría, es un enfoque interdisciplinario y claramente diferenciado para estudiar el comportamiento humano. Las disciplinas más usadas en la Teoría de Juegos son las matemáticas, la economía y la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores.

Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con sólo dos jugadores, también pueden ser simétricos o asimétricos según que los resultados sean idénticos desde el punto de vista de cada jugador.

Estrategias

Las estrategias son los métodos que utilizamos para desarrollar un plan, pueden ser puras o mixtas; éstas últimas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de que se hagan continuas repeticiones del juego por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser también simples o reactivas, si la decisión depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.

Cuando se repiten juegos que no tienen solución estable (un juego con solución estable es cuando ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia) interesa utilizar estrategias mixtas.

 

El teorema del maximin afirma que: “en todo juego bipersonal de suma cero en el que sea posible jugar estrategias mixtas además de las puras, las estrategias maximin (aquella en la que se maximiza la ganancia mínima que puede obtenerse) de cada jugador coincidirán siempre en una solución estable, un punto de silla.” Este teorema fue demostrado matemáticamente por John von Neumann.

Matriz de pago

La  matriz de pago es la que representa la recompensa de cada jugador, es decir, da a conocer las funciones de pago: en que valores gana el jugador 1 que pierde el jugador 2 al usar una determinada estrategia y viceversa.

Juegos de suma cero. 

Se llama juego de suma cero aquél en el que lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde o deja de ganar el otro y por el contrario se denomina suma no nula cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en función de sus decisiones.

Juegos estrictamente determinados y no estrictamente determinados.

Los juegos estrictamente determinados son aquellos que poseen un punto de silla, es decir, son juegos en los cuales se utilizan estrategias puras y los jugadores pueden predecir la respuesta de su contrincante de acuerdo a su posición de juego observada.

Los juegos no estrictamente determinados son aquellos que no poseen un punto de silla y se requieren del uso de estrategias aleatorias (estrategias mixtas) para hallar el valor del juego, es decir, son juegos en los cuales cada uno de los participantes activos decide en qué proporción jugar cada estrategia para no ser predecibles ante sus oponentes. No obstante, se puede hacer uso de componentes estadísticos para hallar los valores esperados del juego y así hallar el valor del juego cuando está sujeto al azar.

Punto de silla.

Se llama punto de silla al resultado en el que coinciden las estrategias maximin de ambos jugadores, es decir, es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna.. No todos los juegos tienen un punto de silla.

EJEMPLO NO 1.

• El jugador columna pierde con el valor positivo y gana con el valor negativo.
• El jugador renglón pierde con el valor negativo y gana con el valor positivo.

Para facilitar el hallazgo de los minimax y los maximin, realizamos la siguiente pregunta a cada jugador: ¿Qué es lo peor que puede pasar?

 

• El valor del juego es igual a 2.
• El jugador columna debe emplear la estrategia II.
• El jugador renglón debe emplear la estrategia I.
• Es un juego estrictamente determinado o con punto de silla.
• Es un juego de suma cero: las ganancias son iguales a las pérdidas.
• No es un juego justo: el jugador renglón tiene más probabilidades de ganar.

JUEGOS ESTRICTAMENTE NO DETERMINADOS

•          No hay valor del juego
•          Para hallar el valor del juego se busca una estrategia aleatorizada

ESTRATEGIAS DOMINANTES Y REDUCCIÓN DEL JUEGO


La reducción del juego se realiza cuando los jugadores presentan tres o más estrategias y por lo cual se procede a estudiar las estrategias dominantes, que son aquellas sobre las cuales se tiene preferencia debido a que pueden existir mayores beneficios.

ESTRATEGIAS ALEATORIAS 

Una estrategia aleatoria es aleatoria cuando a  cada estrategia pura se le asigna una probabilidad con el fin de no ser un jugador predecible para el oponente.

 

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales

Ejercicios resuletos Cadenas de Markov

 

1. Cadenas absorventes

En un juego participan dos jugadores, A y B. En cada turno, se lanza una moneda al aire. Si sale cara, A le da 1 dolar a B. Si sale cruz, B le da 1 dolar a A. Al principio, A tiene 3 dolares y B tiene 2 dolares. El juego continúa hasta que alguno de los dos se arruine. Calcular:

La probabilidad de que A termine arruinándose.

La probabilidad de que B termine arruinándose.

El número medio de tiradas que tarda en acabar el juego.

Tendremos una CM con un estado por cada posible estado de cuentas de A: S={1, 2, 3, 4, 5, 0}. Descomponemos Q:

Probabilidad de que A termine arruinándose.

La ruina de A está representada por el estado 0, que es el 2º estado absorbente. Como empezamos en el 3^er estado transitorio (A empieza con 3 dolares), debemos consultar la 3ª fila, 2ª columna de (I–Q’)^–1R, que nos da una probabilidad de 0,4 de que A empiece con 3 dolares y termine en la ruina.

Probabilidad de que B termine arruinándose

Como es el suceso contrario del apartado a), su probabilidad será 1–0,4=0,6. También podríamos haber consultado la 3ª fila, 1ª columna de (I–Q’)^–1R. 

2.

   Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de una zona urbana, rural ó suburbana, durante un año determinado el 15% de las familias urbanas se cambian a la zona suburbana y el 5 % a la zona rural. El 6% de la familias suburbanas pasan a la zona urbana y el 4% a la rural, el 4% de las familias rurales pasan a la zona urbana y el 6% a la suburbana .   

A.      Matriz de transición

Debemos definir los estados 

        Eo = Zona urbana

        E1 = Zona Rural

        E2 = Zona Suburbana

	Eo	E1	E2
Eo	0.8	0.05	0.15
E1	0.04	0.90	0.06
E2	0.06	0.04	0.90

B.       Si una familia vive actualmente en lazona urbana ¿ Cual es la probabilidad que después de dos años viva en la zona urbana?

Solución: 

Buscamos T²                       

	Eo	E1	E2
Eo	0.651	0.091	0.258
E1	0.0716	0.8144	0.114
E2	0.1036	0.075	0.8214

El valor que buscamos se encuentra en azul y este nos indica que la probabilidad que buscamos es del 65.1 %.