lunes, 6 de junio de 2011

TEORIA DE DECISIONES

TEORIA DE DECISIONES
La toma de decisiones es un proceso que lo realizamos día a día, pues constantemente tenemos que escoger entre dos o más alternativas que se nos presentan.  Para tomar una decisión, no importa su naturaleza, solo es necesario analizar un problema, para así poder darle solución, así como existen inconvenientes fáciles de resolver porque no hay complejidad en la elección de las posibilidades, también surgen casos en los cuales es de vital importancia tomar la mejor decisión porque las consecuencias generan o acarrean grandes repercusiones.

En el campo laboral una decisión errónea puede conducir al éxito o por el contario producir grandes pérdidas que incluso den lugar al cierre de la compañía, es por esto, que se deben analizar todas las alternativas existentes y evaluar cada uno de los riesgos que conlleva. A través de los años, se han perfeccionado las herramientas que sirven de guía para la toma de decisiones empresariales, sin embargo, nadie está exonerado de cometer un error y tomar una mala dirección. No obstante, estas pautas mejoradas minimizan el factor de riesgo en la escogencia de una decisión.

Un proceso de toma de decisiones se puede encontrar en las siguientes categorías:

  •         Decisiones bajo condiciones de certidumbre: El decisor tiene completo conocimiento sobre las alternativas de la solución y sus respectivas consecuencias, por lo cual en el instante de escoger, el criterio de decisión se basa en la alternativa que le produzca un mayor beneficio. Se puede predecir con convicción las repercusiones  de cada alternativa planteada. 

  •         Decisiones bajo condiciones de riesgo. Se refiere a la condición en la que hay un número dado de estados de la naturaleza y el decisor conoce la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.
  •         Decisiones bajo condiciones de incertidumbre. Cuando hay riesgo, la incertidumbre es la percepción que se tenga del riesgo de una decisión, o de no saber lo que puede ocurrir u ocurra un año dado, y el productor responde de una manera determinada a ello, según su percepción y capacidad de enfrentar el riesgo.


EJEMPLO:

Un vendedor de cámaras, tiene la alternativa de comprar entre 6 y 10 cámaras, así mismo tiene la probabilidad de vender de 6 a 10 cámaras diarias. Cada cámara le cuesta $20  y los vende a $25 unidades monetarias. Cada estado de la naturaleza (demanda) es equiprobable.
 

a.       Criterio MAX-MAX : Seleccionar lo mejor de lo mejor

La decisión consiste en tener la mayor cantidad de cámaras para obtener la mayor ganancia al venderse todo.


La mejor alternativa es comprar 10 cámaras y así obtener la mayor utilidad.


b.       Criterio MAXI-MIN: Seleccionar lo mejor de lo peor

La decisión es seleccionar los peores valores y escogemos el mejor entre los peores valores.
 
La mejor alternativa es comprar 6 cámaras ya que así se minimiza el riesgo.

c.       Arrepentimiento MIN-MAX:

El valor de intersección entre la demanda y la alternativa de inversión se resta a cada uno de los valores de la columna respectiva, por ejemplo:

Para la columna I: valor de intersección es 30
  •          30 – 30 = 0
  •          30 – 10= 20
  •          30 – (-10) = 40
  •          30 – (-30) = 60
  •          30 – (-50) = 80










Las mejores alternativas son comprar 6 y 7 cámaras, ya que representa el menor costo de oportunidad o arrepentimiento.

d.       Valor esperado


Las alternativas seleccionadas en este criterio son igual a las alternativas del criterio de arrepentimiento.

a.       e. Criterio VEIPER: Valor esperado con información perfecta

Dada por la ecuación 
  






REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales

Juegos bipersonales de suma cero


En un juego bipersonal de suma cero, cada uno de dos jugadores tiene que escoger entre unas acciones dictadas a cada turno, y la pérdida de cada jugador es igual al beneficio del su contrincante.

La matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero tiene reglones etiquetados por las acciones del "jugador renglón" y columnas etiquetadas por las acciones del su contrincante, el "jugador columna." La entrada ij de la matriz es el pago que gana el jugador renglón en caso de que el jugador renglón usa acción i y el jugador columna usa acción j.

Estrategia mixta, Valor esperado


Un jugador usa una estrategia pura si usa la misma acción a cada turno del juego. El jugador usa una estrategia mixta si a cada turno escoge al azar un acción para que cada acción se está usado una fracción determinada del tiempo.
Representamos una estrategia mixta (o pura) del jugador reglón por una matriz con un solo renglón (vector probabilidad):
R = [a   b   c  . . . ]
con lo mismo número de entradas que renglones, y en cual cada entrada representa la fracción de tiempo que está usada la correspondiente acción (o la probabilidad de usar aquel acción) y donde a + b + . . . = 1.

Una estrategia mixta para el jugador renglón se represente por un vector probabilidad similar, pero en forma de columna C. Para ambos jugadores, estrategias puras son representadas por vectores probabilidad con un solo 1 y el resto de las entradas 0.
El valor esperado del juego con matriz de pagos P que resulta por las estrategias mixtas R y C es dado por
e = RPC
El valor esperado del juego es el pago promedio por turno si cada jugador usa su estrategia mixta especificado por R y C después de un gran número de turnos.

Criterio minimax, Principios fundamentales de la teoría de juegos

Criterio Minimax
Un jugador quien usa el criterio minimax escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante.

Encontrar la estrategia se llama solucionar el juego.  Para juegos general, se puede usar el método simplex Sin embargo, se puede frecuentemente simplificar un juego y a veces solucionarlo por "reducir por predominio" y/o comprobar si es "estrictamente determinado".
Principios fundamentales de la teoría de juegos Cuando analizamos cualquier juego, hacemos los siguientes supuestos acerca de los dos jugadores:
  1. Cada jugador hace la acción mejor posible.
  2. Cada jugador sabe que su contrincante está también haciendo la acción mejor posible.
Reducir por predominio
Una acción domina a otra si todos sus pagos son por lo menos tan provechoso al jugador que los pagos correspondientes de la otra. En términos de la matriz de pagos, podemos decirlo como sigue:
  1. Renglón r en la matriz de pagos domina a renglón s si cada pago en renglón r ≥ el pago correspondiente en renglón s.
  2. Columna r en la matriz de pagos domina a columna s si cada pago en columna r ≤ el pago correspondiente en columna s.
Observe que si dos renglones o columnas son iguales, cada uno domina al otro. Un renglón o columna domina estrictamente a un otro si el uno domina al otro y son desiguales.
Siguiendo el primero principios de la teoría de juegos, la acción que corresponde a un renglón o columna estrictamente dominado nunca será jugado, y ambos jugadores son conscientes de esto por el segundo principio. Entonces cada jugador quien sigue los principios de la teoría de juegos eliminará repetidamente renglones y columnas dominadas como podría ser el caso. (En el caso que son iguales dos renglones o columnas, no hay razón para elegir uno sobre el otro, entonces cualquiera de los dos puede ser eliminado.) Este proceso se llama reducción por predominio.

Punto de silla, juego estrictamente determinado
Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, Encierre en círculo los mínimos de todos los renglones y meta en caja los máximas de todas las columnas. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente en círculo y en caja.
Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos uno punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinado:
  1. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.
  2. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.
 
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales

Teoría de Juegos



La técnica para el análisis de estas situaciones fue puesta a  punto por un matemático, John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern.  Esta teoría, es un enfoque interdisciplinario y claramente diferenciado para estudiar el comportamiento humano. Las disciplinas más usadas en la Teoría de Juegos son las matemáticas, la economía y la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores.

Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con sólo dos jugadores, también pueden ser simétricos o asimétricos según que los resultados sean idénticos desde el punto de vista de cada jugador.

Estrategias

Las estrategias son los métodos que utilizamos para desarrollar un plan, pueden ser puras o mixtas; éstas últimas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de que se hagan continuas repeticiones del juego por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser también simples o reactivas, si la decisión depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.

Cuando se repiten juegos que no tienen solución estable (un juego con solución estable es cuando ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia) interesa utilizar estrategias mixtas.
 
El teorema del maximin afirma que: “en todo juego bipersonal de suma cero en el que sea posible jugar estrategias mixtas además de las puras, las estrategias maximin (aquella en la que se maximiza la ganancia mínima que puede obtenerse) de cada jugador coincidirán siempre en una solución estable, un punto de silla.” Este teorema fue demostrado matemáticamente por John von Neumann.

Matriz de pago

La  matriz de pago es la que representa la recompensa de cada jugador, es decir, da a conocer las funciones de pago: en que valores gana el jugador 1 que pierde el jugador 2 al usar una determinada estrategia y viceversa.

Juegos de suma cero

Se llama juego de suma cero aquél en el que lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde o deja de ganar el otro y por el contrario se denomina suma no nula cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en función de sus decisiones.

Juegos estrictamente determinados y no estrictamente determinados.

Los juegos estrictamente determinados son aquellos que poseen un punto de silla, es decir, son juegos en los cuales se utilizan estrategias puras y los jugadores pueden predecir la respuesta de su contrincante de acuerdo a su posición de juego observada.

Los juegos no estrictamente determinados son aquellos que no poseen un punto de silla y se requieren del uso de estrategias aleatorias (estrategias mixtas) para hallar el valor del juego, es decir, son juegos en los cuales cada uno de los participantes activos decide en qué proporción jugar cada estrategia para no ser predecibles ante sus oponentes. No obstante, se puede hacer uso de componentes estadísticos para hallar los valores esperados del juego y así hallar el valor del juego cuando está sujeto al azar.


Punto de silla.

Se llama punto de silla al resultado en el que coinciden las estrategias maximin de ambos jugadores, es decir, es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna.. No todos los juegos tienen un punto de silla.



EJEMPLO NO 1.

  • El jugador columna pierde con el valor positivo y gana con el valor negativo.
  • El jugador renglón pierde con el valor negativo y gana con el valor positivo.
Para facilitar el hallazgo de los minimax y los maximin, realizamos la siguiente pregunta a cada jugador: ¿Qué es lo peor que puede pasar?

 
  • El valor del juego es igual a 2.
  • El jugador columna debe emplear la estrategia II.
  • El jugador renglón debe emplear la estrategia I.
  • Es un juego estrictamente determinado o con punto de silla.
  • Es un juego de suma cero: las ganancias son iguales a las pérdidas.
  • No es un juego justo: el jugador renglón tiene más probabilidades de ganar.

JUEGOS ESTRICTAMENTE NO DETERMINADOS

  •          No hay valor del juego
  •          Para hallar el valor del juego se busca una estrategia aleatorizada

ESTRATEGIAS DOMINANTES Y REDUCCIÓN DEL JUEGO


La reducción del juego se realiza cuando los jugadores presentan tres o más estrategias y por lo cual se procede a estudiar las estrategias dominantes, que son aquellas sobre las cuales se tiene preferencia debido a que pueden existir mayores beneficios.



ESTRATEGIAS ALEATORIAS 

Una estrategia aleatoria es aleatoria cuando a  cada estrategia pura se le asigna una probabilidad con el fin de no ser un jugador predecible para el oponente.



REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales

Ejercicios resuletos Cadenas de Markov

 

1. Cadenas absorventes

En un juego participan dos jugadores, A y B. En cada turno, se lanza una moneda al aire. Si sale cara, A le da 1 dolar a B. Si sale cruz, B le da 1 dolar a A. Al principio, A tiene 3 dolares y B tiene 2 dolares. El juego continúa hasta que alguno de los dos se arruine. Calcular:
La probabilidad de que A termine arruinándose.
La probabilidad de que B termine arruinándose.
El número medio de tiradas que tarda en acabar el juego.

Tendremos una CM con un estado por cada posible estado de cuentas de A: S={1, 2, 3, 4, 5, 0}. Descomponemos Q:













Probabilidad de que A termine arruinándose.

La ruina de A está representada por el estado 0, que es el 2º estado absorbente. Como empezamos en el 3er estado transitorio (A empieza con 3 dolares), debemos consultar la 3ª fila, 2ª columna de (IQ’)–1R, que nos da una probabilidad de 0,4 de que A empiece con 3 dolares y termine en la ruina.

Probabilidad de que B termine arruinándose
Como es el suceso contrario del apartado a), su probabilidad será 1–0,4=0,6. También podríamos haber consultado la 3ª fila, 1ª columna de (IQ’)–1R. 

2.
   Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de una zona urbana, rural ó suburbana, durante un año determinado el 15% de las familias urbanas se cambian a la zona suburbana y el 5 % a la zona rural. El 6% de la familias suburbanas pasan a la zona urbana y el 4% a la rural, el 4% de las familias rurales pasan a la zona urbana y el 6% a la suburbana .   
A.      Matriz de transición
Debemos definir los estados 
        Eo = Zona urbana
        E1 = Zona Rural
        E2 = Zona Suburbana


Eo
E1
E2
Eo
0.8
0.05
0.15
E1
0.04
0.90
0.06
E2
0.06
0.04
0.90


B.       Si una familia vive actualmente en lazona urbana ¿ Cual es la probabilidad que después de dos años viva en la zona urbana?
Solución: 
Buscamos T2                       


Eo
E1
E2
Eo
0.651
0.091
0.258
E1
0.0716
0.8144
0.114
E2
0.1036
0.075
0.8214

El valor que buscamos se encuentra en azul y este nos indica que la probabilidad que buscamos es del 65.1 %.

Cadenas de Markov Absorventes


Una cadena de Markov con espacio de estados finito se dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. La cadena tiene al menos un estado absorbente.
2. De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente.
Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento como D, tenemos los siguientes resultados:


Su matriz de transición siempre se puede llevar a una de la forma
P =
   \begin{pmatrix}
      Q & R \\
      0 & I
   \end{pmatrix}
donde la submatriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y R alguna submatriz.


P_x(T_A < \mathcal{1} \,) = 1 , esto es, no importa en donde se encuentre la cadena, eventualmente terminará en un estado absorbente.


 Resultados de las cadenas absorventes: 


La probabilidad de ser absorbido por un estado absorbente jÎS, suponiendo que empezamos en el estado transitorio iÎS, viene dada por el elemento (i,j) de la matriz (I–Q’)–1 R, que se denomina matriz fundamental de la CM.

TEXTOS TOMADOS DE INTERNET

CADENAS DE MARKOV


 

Condiciones generales:
 
Si P [Sj(k) / Sa(k-1), Sb(k-2), Sc(k-3).....] = P[Sj(k) / Sa(k-1)] para todo k, j,a, b, c,..... Entonces el sistema es un estado discreto de discretas transiciones de procesos de Markov. La implicación de esta condición es que la historia anterior del sistema a su llegada en (a) no tiene efecto en la transición a (j). En otras palabras, el sistema no tiene memoria.


Para una cadena de Markov, se definen las probabilidades de transición como:
pij  = P[Sj(k) / Si(k-1)]     1&lt;= i,j &lt;= m
y las pij  son independientes de (k). Estas probabilidades pueden ser incluidas en una matriz de transición,


P11
P12
........................
P1m
P21
P22
........................
P2m
P=
.
.
.
.
.
.
.
.
Pm1
Pm2
........................
Pmm




También note que las transiciones de probabilidad satisfacen
0&lt;=pij&lt;=1
y


 m
S pij =1,      i = 1,2,3...........,m
.j=1




Debido a que los estados son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
La matriz P, proporciona una completa descripción del proceso de Markov el cual se usara para responder numerosas preguntas sobre un sistema. Por ejemplo,

1. Cuál es la probabilidad que el sistema este en Si después de k transiciones si el estado en k=0 es conocido?
Se puede responder la pregunta así:
P[Sj(k+1)]=P[S1(k)p1j+P[S2(k)]p2j+......+P[Sm(k)]pmj,
Donde P[Sj(k+1)]=probabilidad que el sistema este en el estado Sj en el tiempo k+1.
En la ecuación anterior, j=1,2,.....,m. O de la siguiente forma:
P(k+1) = P(k)P , k=0,1,2......
Para responder a la pregunta 1 por inducción


P(1) =
P(0)P
P(2)=
P(1)P=
P(0)P2
.
.
.
.
.
.
P(k) =
P(0)Pk
k=0,1,2......


Clasificación de los estados:

1. Límite de las probabilidades de estado:
Si k tiende a infinito, P(k) llega a una constante, entonces el limite de las probabilidades de estado existe y son independientes de la condición inicial.
Si p es un vector 1 x m  definido como,
Limkàinfinito P(k)= p
Entonces p puede satisfacer  p =pP.
Para el ejemplo, esta ecuación se puede ser resueltacon la restricción
Sim pi =1  para obtener (p1       p2)

2. Estado transitorio
Si  es un estado transitorio si se puede dejar el estado pero nunca retornar a él.

3. Estado absorbente
Si es un estado absorbente si el sistema entra al estado y permanece ahí. Y el límite de la probabilidad de estado es 1. este estado es conocido también como estado trampa.

4. Cadena recurrente
Una cadena recurrente es un conjunto de estados de los que el sistema no puede salir. Un estado transitorio conduce al sistema dentro de este conjunto de estados. El sistema hace saltos dentro de este conjunto indefinidamente. La cadena recurrente es también llamada subcadena de Markov irreducible o de clases recurrentes.

Datos claves de la cadena de markov:

o   Cada cadena de Markov debe tener al menos una cadena recurrente
o   Una cadena recurrente es un estado absorbente generalizado
o   Un proceso de Markov que tiene una cadena recurrente será completamente ergódica desde dondequiera que el inicie finalizara en cadena recurrente
o   Si un proceso tiene dos o más cadenas recurrentes, entonces la propiedad ergódica no se mantiene en el tiempo
o   Un estado transitorio es un estado que ocupa el sistema antes de convertirse en una cadena recurrente

Comportamiento a largo plazo de una cadena regular

La notación X(n)=(x1(n),.....,xk(n))t representa la probabilidad de que una cadena se encuentre en cada uno de los estados en la etapa n.
Xc=Lim nàinfinito X(n)=LX(0) donde L=Lim nàinfinitoTn.

El vector Xc caracteriza el comportamiento a largo plazo de la cadena, ya que nos informa de la probabilidad de que la cadena se encuentre en cada uno de los estados cuando ha transcurrido un número grande de etapas. Al vector Xc se le llama distribución estacionaria de la cadena. El límite no siempre existe debido a la existencia de periodos.

"Se dice que una cadena de Markov con matriz de probabilidades de transición T (esta matriz es la transpuesta de la original) es regular si todos los elementos de matriz Tn son estrictamente positivos para algún valor de n."
Es decir, una cadena de Markov es regular si existe un número de etapas n tal que la probabilidad de la transición en n etapas entre cualquier par de estados es estrictamente positiva.

Cadenas ergódicas:

Si existe un n&gt;0 tal que Pijn &gt;0, i, j=0,1,2....m. la cadena de Markov, con esta propiedad, se llama ergódica. Entonces, Pijn = Sk=0 (Pikn * Pkj), luego pj =  Sk=0 (pk * Pkj) y como Sj=0 Pijn = 1, entonces Sj=0 pj =1

Teorema. Para una cadena de Markov ergódica, pj =Lim nàinfinito Pijn existe y pj (j pertenece {0,..,m}) es la única solución no negativa de pj. Entonces:
pj =  Sk=0 (pk * Pkj) y Sj=0 pj =1.

Límites ergódicos en la cadena de markov:

La relación fundamental en una cadena de Markov es: Pn =Mn P0. Y si nuestro interés es el comportamiento asintótico de Pn, es decir Lim nàinfinito Pn entonces el problema es encontrar las condiciones para que este límite exista y en caso de existir, ¿dependerá del estado inicial del sistema?
Bajo condiciones de “regularidad” la distribución asintótica existe y bajo estas condiciones la distribución en el límite será independiente de la distribución inicial.

Clasificación de los estados:



Recurrentes:
Si i=j y  Sinfn=1 fiin =1
·         Absorbentes si pii =1
·         Recurrentes nulos uii = inf
·         Recurrentes positivos uii &lt; inf
·         Ergódico: recurrente positivo aperiódico
Transitorio o transiente: si hay alguna probabilidad positiva de no volver allí,  Sinfn=1 fiin &lt;1
Estados
Efímero: no puede ser alcanzado desde ningún otro estado
 J es  Accesible, si pijn &gt;0
Comunicados
Si i es accesible desde j
Si j es accesible desde i
Pertenecen a una clase: cadena irreductible
Periódico: tiene periodo
Aperiódico: no tiene periodo


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viernes 3 de junio de 2011

CADENAS DE MARKOV


Las cadenas de markov reciben este nombre debido al matemático Andrei Andreevitch Markov  y consisten en un proceso discreto en el cual la probabilidad de que se lleve a cabo un evento es dependiente del evento inmediatamente anterior. Por lo tanto, la característica más destacada de esta herramienta es la capacidad de " recordar" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros

Para llevar a cabo el desarrollo de la cadena de markov se requiere tener fundamentos matemáticos en:

1. Operaciones con matrices
  • Suma y resta
  • Multiplicación
  • Traspuesta
  • Inversa- Gauss-Jordan 
 2.    Probabilidad


Propiedad de Markov: "si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro".

ELEMENTOS DE LA CADENA DE MARKOV

Estado: Una cadena de Markov es una secuencia X1, X2, X3, … de variables aleatorias, el rango de estas variables, es llamado espacio -estado, el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Cuando un estado es igual a cero, significa que no hay vía directa de un estado a otro.

Matriz de transición: Es la matriz que representa la probabilidad de una población de moverse de un estado a otro.  Cumple con las siguientes condiciones:
  •   La matriz de transición debe ser cuadrada.
  •   La suma de las probabilidades por fila debe ser igual a 1.
Composición actual (Po): Representa la distribución actual de la distribución de la población, a partir de esta matriz se describen las probabilidades de su estado fututo.  El número de renglones de Po debe ser igual número de elementos del vector columna T.

Para comprender a cabalidad lo expresado anteriormente, desarrollaremos un ejemplo en el cual se reconozca la importancia de las cadenas de markov y los elementos que la conforman. 

EJEMPLO NO.1

Actualmente, en Colombia la distribución de la población según su operador celular se encuentra representada de la siguiente forma: el 40% está dominado por  Comcel, mientras que Tigo y Movistar presentan un porcentaje de participación en el mercado de 30% cada uno. Además se obtiene la presente información:
  
a)      Los individuos que están en Movistar tienen una probabilidad de 30% de quedarse en la misma operadora, una de 50% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Comcel.

b)       Los individuos que están en Tigo tienen una probabilidad de 70% de quedarse en la misma operadora, una de 10% de cambiar a Movistar, y una de 20% para pasarse a Comcel.  

c)       Los individuos que están en Comcel  tienen una probabilidad de 50% de quedarse en la misma operadora, una de 30% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Movistar.

 
SOLUCIÓN

Primero procedemos a reconocer cuales son los estados de la matriz.

La matriz de composición actual:

Po = [Movistar   Tigo   Comcel]
Po = [0,3     0,3   0,4]
La matriz de transición:

M: Movistar;  T: Tigo;  C: Comcel

Para hallar la participación de las telefonías celulares transcurrido un año, procedemos a multiplicar la composición actual de los operadores existentes por la matriz de transición de la siguiente manera:


Obteniendo así:
P1 = [0,2    0,48   0,32]

Una participación del 20%, 48% y 32% para Movistar, Tigo y Comcel respectivamente.

Para calcular el siguiente año procedemos a:

De esta manera se generan los siguientes resultados y se analizan las proyecciones de participación de los operadores celulares en diferentes periodos:

P1 = [0,20        0,48            0,32]
P2 = [0,172      0,532          0,296]
P3 = [0,164      0,547          0,288]
P4 = [0,1617    0,5517       0,2866]
P5 = [0,161      0,553          0,286]

Al realizar el ejercicio aplicando la formula enunciada anteriormente se definió como regla general:

ESTADO ESTABLE


El estado estable representa las probabilidades, y se calculan matemáticamente cuando al hallar las proyecciones en n periodos los valores son iguales, es decir, dejan de variar, al transcurrir n tiempo. Para el anterior ejercicio el estado estable es cuando:

P5 = [0,161      0,553          0,286]

Lo cual corresponde a una participación del 16,1%, 55,3% y 28,6% para Movistar, Tigo y Comcel respectivamente.

Ahora, si cambiamos los valores iniciales de la matriz de composición actual Pde la siguiente manera:
P0 = [0,6    0,2   0,2] se generan los siguientes valores:

P1 = [0,24        0,50            0,26]
P2 = [0,174      0,548          0,278]
P3 = [0,163      0,554          0,2834]
P4 = [0,161    0,554            0,285]

                Nota: se llegó más rápido al estado estable cambiando los valores iniciales.

Podemos concluir que el valor del estado estable es independiente de los valores iniciales.

En el proceso de hallar el estado estable, también se hace uso del método de Gauss, Gauss-jordan, entre otros.

Empleando el método de Gauss-Jordan



   
Nuevamente observamos que los valores del estado estable son:

L = [0,161      0,5535          0,2857]

Lo cual corresponde a una participación del 16,1%, 55,3% y 28,6% aproximadamente para Movistar, Tigo y Comcel respectivamente.

CONCEPTOS IMPORTANTES EN LAS CADENAS DE MARKOV:

ESTADO RECURRENTE: Un estado es recurrente si después de haber entrado a un estado, en el proceso definitivamente regresará a ese estado. Por consiguiente, un estado es recurrente si y solo si no es transitorio.

ESTADO TRANSITORIO: Un estado es transitorio si después de haber entrado a un estado no regresa a él.

ESTADO ABSORBENTE: Un estado es absorbente si después de haber entrado a  un estado nunca saldra de él..

MATRIZ REGULAR: Una matriz es regular si en sus consignas no presenta ningún estado 0 y 1.

MATRIZ ERGÓDICA: Una matriz es ergódica si todos sus estados son nulos, no periodicos y recurrentes.



MATRIZ ABSORBENTE


Una matriz es absorbente si presenta estados absorbentes, es decir, que presente en sus consignas la probabilidad en la matriz T, de permanecer en el mismo estado a lo largo del tiempo (igual a 1).

Ejemplo No.1:

La Universidad Bolívar a estudiado la trayectoria de sus estudiantes y a descubierto que: 

A.       70% de los estudiantes de nuevo ingreso regresan al año sgte, de segundo año el 15% volvera como estudiante de nuevo ingreso y el resto no regresara.

B.      El 75% de los estudiantes de segundo año volverán al año siguiente como estudiantes de tercer año, el 15% volverán como estudiantes de segundo año y el resto no regresara.  

C.      El 80% de los estudiantes de tercer año regresaran al año siguiente como estudiantes de último año, 10% volverá como estudiante de tercer año y el resto no regresara.

D.      El 85% de los estudiantes de último año se graduaran, y el 10% volverá como estudiante de último año y el resto no regresara. 
 
Nota: Supongamos que la U no permite que un estudiante que se ha dado de baja, vuelva y tampoco permite que se cambie de curso a mitad de curso.

1) Escriba la matriz de transición de estos datos.
2) ¿Cuál es la probabilidad de que se gradúe un estudiante de nuevo ingreso?

SOLUCIÓN
Reconocimiento de los estados:

Estado 1: Primer año. (P)
Estado 2: Segundo año. (S)
Estado 3: Tercer año. (T)
Estado 4: Último año. (U)
Estado 5: Graduado. (G)
Estado 6: No regresan (NR)

Respuestas:
  • La probabilidad de que se gradúe un estudiante de nuevo ingreso es 61 % aproximadamente.

Ejemplo No.2.

Almacenes Julio Parts vende partes de automóviles y camiones a empresas que cuentan con flotas de vehículos. Cuando una empresa compra a Julio Parts se le otorgan 3 meses para pagar. Si las cuentas no se saldan en ese periodo, Julio Parts cancela la cuenta, la remite a una agencia de cobranza y da por terminada las transacciones. Por lo tanto Julio Parts, clasifica sus cuentas en: nuevas, de un mes de atraso, pagadas o incobrables.

Julio Parts estudió sus antiguos registros y descubrió que: 

a.       El 70% de las cuentas nuevas se pagan en un mes.

b.      El 60% de las cuenta con un mes de retraso se pagan al final del mes. 

c.       El 50% de las cuentas con dos meses de retraso se pagan al final del último mes. 

d.      El 60% de las cuentas con tres meses de retraso se remiten a una agencia de cobranza.

se requiere:
1) Formar la matriz de transición.
2) Determinar si esa matriz de transición es regular, absorbente.
3) ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva cuenta se liquide?
4) ¿Cuál es la probabilidad que una cuenta de un mes de retraso se vuelva incobrable?
5) Si las ventas de Julio Parts son en promedio de $125.000 al mes, ¿cuánto dinero se aceptara como deuda incobrable cada mes y cada año?

SOLUCIÓN:

Reconocimiento de los estados:

Estado 1: Cuentas nuevas. (N)
Estado 2: Cuentas un mes de atraso. (1)
Estado 3: Cuentas dos meses de atraso. (2)
Estado 4: Cuentas tres meses de atraso. (3)
Estado 5: Cuentas pagadas. (P)
Estado 6: Cuentas incobrables (I)



 Respuestas:
  • La matriz de transición no es regular y si es absorbente.
  • La probabilidad de que una nueva cuenta se liquide es del 96%
  • La probabilidad que una cuenta de un mes de retraso se vuelva incobrable es de 12%
  • Se aceptaría como deuda incobrable al mes $4500 y al año $5400
 



REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales