Ejercicios resuletos Cadenas de Markov

 

1. Cadenas absorventes

En un juego participan dos jugadores, A y B. En cada turno, se lanza una moneda al aire. Si sale cara, A le da 1 dolar a B. Si sale cruz, B le da 1 dolar a A. Al principio, A tiene 3 dolares y B tiene 2 dolares. El juego continúa hasta que alguno de los dos se arruine. Calcular:

La probabilidad de que A termine arruinándose.

La probabilidad de que B termine arruinándose.

El número medio de tiradas que tarda en acabar el juego.

Tendremos una CM con un estado por cada posible estado de cuentas de A: S={1, 2, 3, 4, 5, 0}. Descomponemos Q:

Probabilidad de que A termine arruinándose.

La ruina de A está representada por el estado 0, que es el 2º estado absorbente. Como empezamos en el 3^er estado transitorio (A empieza con 3 dolares), debemos consultar la 3ª fila, 2ª columna de (I–Q’)^–1R, que nos da una probabilidad de 0,4 de que A empiece con 3 dolares y termine en la ruina.

Probabilidad de que B termine arruinándose

Como es el suceso contrario del apartado a), su probabilidad será 1–0,4=0,6. También podríamos haber consultado la 3ª fila, 1ª columna de (I–Q’)^–1R. 

2.

   Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de una zona urbana, rural ó suburbana, durante un año determinado el 15% de las familias urbanas se cambian a la zona suburbana y el 5 % a la zona rural. El 6% de la familias suburbanas pasan a la zona urbana y el 4% a la rural, el 4% de las familias rurales pasan a la zona urbana y el 6% a la suburbana .   

A.      Matriz de transición

Debemos definir los estados 

        Eo = Zona urbana

        E1 = Zona Rural

        E2 = Zona Suburbana

	Eo	E1	E2
Eo	0.8	0.05	0.15
E1	0.04	0.90	0.06
E2	0.06	0.04	0.90

B.       Si una familia vive actualmente en lazona urbana ¿ Cual es la probabilidad que después de dos años viva en la zona urbana?

Solución: 

Buscamos T²                       

	Eo	E1	E2
Eo	0.651	0.091	0.258
E1	0.0716	0.8144	0.114
E2	0.1036	0.075	0.8214

El valor que buscamos se encuentra en azul y este nos indica que la probabilidad que buscamos es del 65.1 %.