lunes, 6 de junio de 2011

Teoría de Juegos



La técnica para el análisis de estas situaciones fue puesta a  punto por un matemático, John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern.  Esta teoría, es un enfoque interdisciplinario y claramente diferenciado para estudiar el comportamiento humano. Las disciplinas más usadas en la Teoría de Juegos son las matemáticas, la economía y la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores.

Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con sólo dos jugadores, también pueden ser simétricos o asimétricos según que los resultados sean idénticos desde el punto de vista de cada jugador.

Estrategias

Las estrategias son los métodos que utilizamos para desarrollar un plan, pueden ser puras o mixtas; éstas últimas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de que se hagan continuas repeticiones del juego por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser también simples o reactivas, si la decisión depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.

Cuando se repiten juegos que no tienen solución estable (un juego con solución estable es cuando ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia) interesa utilizar estrategias mixtas.
 
El teorema del maximin afirma que: “en todo juego bipersonal de suma cero en el que sea posible jugar estrategias mixtas además de las puras, las estrategias maximin (aquella en la que se maximiza la ganancia mínima que puede obtenerse) de cada jugador coincidirán siempre en una solución estable, un punto de silla.” Este teorema fue demostrado matemáticamente por John von Neumann.

Matriz de pago

La  matriz de pago es la que representa la recompensa de cada jugador, es decir, da a conocer las funciones de pago: en que valores gana el jugador 1 que pierde el jugador 2 al usar una determinada estrategia y viceversa.

Juegos de suma cero

Se llama juego de suma cero aquél en el que lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde o deja de ganar el otro y por el contrario se denomina suma no nula cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en función de sus decisiones.

Juegos estrictamente determinados y no estrictamente determinados.

Los juegos estrictamente determinados son aquellos que poseen un punto de silla, es decir, son juegos en los cuales se utilizan estrategias puras y los jugadores pueden predecir la respuesta de su contrincante de acuerdo a su posición de juego observada.

Los juegos no estrictamente determinados son aquellos que no poseen un punto de silla y se requieren del uso de estrategias aleatorias (estrategias mixtas) para hallar el valor del juego, es decir, son juegos en los cuales cada uno de los participantes activos decide en qué proporción jugar cada estrategia para no ser predecibles ante sus oponentes. No obstante, se puede hacer uso de componentes estadísticos para hallar los valores esperados del juego y así hallar el valor del juego cuando está sujeto al azar.


Punto de silla.

Se llama punto de silla al resultado en el que coinciden las estrategias maximin de ambos jugadores, es decir, es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna.. No todos los juegos tienen un punto de silla.



EJEMPLO NO 1.

  • El jugador columna pierde con el valor positivo y gana con el valor negativo.
  • El jugador renglón pierde con el valor negativo y gana con el valor positivo.
Para facilitar el hallazgo de los minimax y los maximin, realizamos la siguiente pregunta a cada jugador: ¿Qué es lo peor que puede pasar?

 
  • El valor del juego es igual a 2.
  • El jugador columna debe emplear la estrategia II.
  • El jugador renglón debe emplear la estrategia I.
  • Es un juego estrictamente determinado o con punto de silla.
  • Es un juego de suma cero: las ganancias son iguales a las pérdidas.
  • No es un juego justo: el jugador renglón tiene más probabilidades de ganar.

JUEGOS ESTRICTAMENTE NO DETERMINADOS

  •          No hay valor del juego
  •          Para hallar el valor del juego se busca una estrategia aleatorizada

ESTRATEGIAS DOMINANTES Y REDUCCIÓN DEL JUEGO


La reducción del juego se realiza cuando los jugadores presentan tres o más estrategias y por lo cual se procede a estudiar las estrategias dominantes, que son aquellas sobre las cuales se tiene preferencia debido a que pueden existir mayores beneficios.



ESTRATEGIAS ALEATORIAS 

Una estrategia aleatoria es aleatoria cuando a  cada estrategia pura se le asigna una probabilidad con el fin de no ser un jugador predecible para el oponente.



REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: consultas Medardo Gonzales

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